证明根号三是无理数(怎样证明根号2是无理数?)
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证明根号三是无理数
最佳答案：
[反证法假设]
假设(sqrt{3})是有理数。根据有理数的定义，有理数都可以表示为两个互质的整数之比（即分数形式），那么可设(sqrt{3}=frac{p}{q})，其中(p)，(q)是互质的正整数（互质意味着(p)和(q)的最大公因数为(1)）。
[等式变形推导]
由(sqrt{3}=frac{p}{q})，两边同时平方可得(3=frac{p^{2}}{q^{2}})，进一步变形得到(p^{2}=3q^{2})。
从这个式子可以看出，(p^{2})是(3)的倍数。因为一个数的平方是(3)的倍数，那么这个数本身也一定是(3)的倍数（设一个整数(m)，若(m^{2}=3k)，(kinZ)，根据数的整除性质，(m)必然能被(3)整除），所以可设(p=3m)，其中(m)是正整数。
[代入继续推导]
把(p=3m)代入(p^{2}=3q^{2})中，得到((3m)^{2}=ping3q^{2})，即(9m^{2}=3q^{2})，两边同时除以(3)，可得(q^{2}=3m^{2})。
同理，由(q^{2}=3m^{2})可知(q^{2})是(3)的倍数，所以(q)也是(3)的倍数。
[得出矛盾]
因为(p)是(3)的倍数，(q)也是(3)的倍数，这就说明(p)和(q)有公因数(3)，这与前面假设的(p)，(q)互质相矛盾。
[得出结论]
由于假设(sqrt{3})是有理数导致了矛盾，所以假设不成立，即(sqrt{3})是无理数。
怎么用反证法证明根号3是无理数
反证法：
假设结论不成立（接下来用a表示根号3，因为不好打），即a为有理数，
那么存在正整数p和q（p,q无公因子，或称互质）,使得a=p/q(有理数的性质)，两边平方，得到
p^2=3q^2,
接下来分析，（具体过程可以有多种，但是都是从公因子3入手，引出矛盾）
因为等号右边有因子3，且3为质数，因此p一定是3的倍数，设p=3r,代入等式并约分得到，
3r^2=q^2
同理，q也一定是3的倍数，于是p、q均为3的倍数，与p、q互质矛盾。
故有反证法的原理，知a为无理数
怎么证明根号三是无理数
证明根号3是无理数，使用反证法
如果√3是有理数，必有√3=p/q（p、q为互质的正整数）
两边平方：3=p^2/q^2
p^2=3q^2
显然p为3的倍数，设p=3k（k为正整数）
有9k^2=3q^2 即q^2=3k^2
于是q也是3的倍数，与p、q互质矛盾
∴假设不成立，√3是无理数
如何证明根号2是无理数?
证明：假设√2不是无理数，而是有理数。
既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：
√2=p/q
又由于p和q没有公因数可以约去，所以可以认为p/q 为既约分数,即最简分数形式。
把 √2=p/q 两边平方
得 2=(p^2)/(q^2)
即 2(q^2)=p^2
由于2q^2是偶数，p 必定为偶数，设p=2m
由 2(q^2)=4(m^2)
得 q^2=2m^2
同理q必然也为偶数，设q=2n
既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q是既约分数矛盾。这个矛盾是有假设√2是有理数引起的。因此√2是无理数。